La soluzione più semplice del problema (dimostrare l’impossibilità della “passeggiata”) è in realtà… semplicissima. Essa si basa sull’osservazione che una regione (nel grafo: un pallino) che non sia iniziale o finale ha un numero pari di ponti (nel grafo: linee).
Infatti, se chiamiamo R tale regione, un ponte 1 arriva in R, ma un ponte 2 deve allora “uscire” da R. Se non è finita, un ponte 3 può arrivare in R, ma di conseguenza un ponte 4 dovrà uscire da R. Si noti che in questo ragionamento i ponti sono tutti diversi, per la regola che è stata posta.
Adesso è facile, perché dai nostri 4 “pallini” escono 5, 3, 3, 3 linee. Ma i pallini iniziali/finali sono al massimo due. Quindi la “passeggiata” è impossibile e i bravi cittadini di Königsberg potranno tentare all’infinito, ogni domenica di bel tempo che Dio manda.
Il ragionamento è davvero semplice ma – come si può verificare sperimentalmente – poche persone ci arrivano. Il problema presenta anche una difficoltà supplementare, quella di passare dall’enunciato (fiume Pregel, isole, zone della città, ponti) alla schematizzazione (grafo di Eulero).
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