PARTE PRIMA
PARTE SECONDA
Mandelbrot e la geometria frattale della natura
Sostanzialmente, i principi e le teorie espresse da Poincaré hanno costituito la piattaforma teorica e interpretativa per lo sviluppo del pensiero scientifico nel ventesimo e nel corrente secolo, peraltro adottata da illustri studiosi, come Einstein, Julia, Dirac, Perrin, Kastler, Louis de Broglie, Schrödinger per citarne solo alcuni, e ovviamente con l’adesione di Benoît Mandelbrot che ha contribuito a forgiare ulteriormente la comprensione del mondo reale esperito, fondandola su La Geometria frattale della Natura. Da un lato ha delineato il paradigma epistemologico innovativo per leggere ed interpretare il regno del vivente, e dall’altro ha fornito l’apporto euristico /metodologico costituito da quegli strumenti analitici e sperimentali atti a descrivere e misurare corpi naturali e oggetti biologici, generati simili a scale dimensionali diverse, dall’infinitesimale al macroscopico, per iterazione della loro unità costitutiva di base.
Benoît Mandelbrot (1924-2010)
L’auto-somiglianza morfologica, denominata pure invarianza di scala, fa sì che gli oggetti frattali risultino contrassegnati da spiccata irregolarità e complessità, quantificabile tramite la dimensione frattale (non intera), e appaiano in palese opposizione con le figure e gli oggetti geometrici euclidei a dimensione intera, lineari, non riscontrabili in natura. Forme, figure, e immagini complesse indescrivibili nel linguaggio sia corrente sia matematico convenzionale furono originariamente riprodotte da Mandelbrot, tramite l’impiego di calcolatori sviluppati da IBM a New York, ricorrendo all’iterazione illimitata di un generatore semplice e definito come può esserlo un motivo o un’equazione matematica, di cui l’insieme di Julia-Mandelbrot costituisce l’esempio più affascinante.
Tali figure matematiche virtuali, denominate «frattali», dal latino fractus (fratto, irregolare), vennero di primo acchito squalificate in quanto ritenute entità patologiche o mostri matematici, ma nelle quali, forse proprio per la bellezza e fascino della loro forma, il nostro geniale osservatore derivò analogie e lesse riflessi del regno naturale tanto da arguire che costituiscono «quasi la regola generale nella natura, in particolare nei suoi aspetti più visibili», e affermare che «le nubi non sono sfere, le montagne non sono coni, i profili costieri non sono cerchi, le cortecce non sono lisce, il fulmine non viaggia in linea retta», realtà che né la geometria classica, né la fisica convenzionale seppero descrivere. In breve, fenomenologia e oggettistica da sempre «sotto il nostro naso», come sostenne Mandelbrot.
Vi è dell’altro: numerose figure virtuali rivelano una analogia con strutture e forme presenti non solo nel regno naturale e inanimato bensì riscontrabili nel regno vegetale e animale, ciò che ha indotto a ritenere che il processo iterativo di unità strutturali e generatori primordiali potrebbe guidare la morfogenesi e lo sviluppo degli elementi biologici e delle strutture viventi entro limiti imprescindibili. I polmoni limitano gli alveoli per lo scambio respiratorio alla ventitreesima generazione, mentre alberi e vegetali si riproducono ramificando in rapporto decrescente e tale da impedire loro di «crescere fino in cielo», come osservò Joann Wolfgang Goethe (1749-1832) nei suoi scritti scientifici.
A tutt’oggi, numerosi studi e ricerche hanno analizzato e dimostrato sia l’organizzazione frattale dei sistemi viventi, sia la correlazione fra l’entità della dimensione frattale e l’espressione degli stati fisiologici e patologici dell’organismo. Nell’ottica frattale, di incommensurabile interesse e stimolo di indagine appare tuttavia lo studio del cervello e del sistema nervoso, nella fattispecie dell’uomo, la cui complessità anatomica, morfologica e funzionale rappresenta un abisso per la mente, in analogia con il pensiero di Immanuel Kant (1749 –1832 ) «l’organizzazione delle forme è un abisso impenetrabile per la mente».
A questa problematica di enorme rilevanza sociale e non solo meramente scientifico-cognitiva, lasciata «in eredità» alla comunità scientifica, (vedi il Blue Brain Project), Mandelbrot dedicò alcuni brevi paragrafi denominati: Le pieghe del cervello dei mammiferi e Sulla geometria del cervello. Nel primo scrisse: «I volumi del cervello nei mammiferi variano da 0.3 a 3000 ml, la corteccia di piccoli animali essendo relativamente o completamente liscia, mentre la corteccia dei grandi animali tende a essere convoluta, indipendentemente dalla loro posizione sulla scala evolutiva».
Nel secondo: «Le cellule di Purkinje nel cervelletto dei mammiferi, [posto sulla faccia posteriore del tronco cerebrale, è la sede del centro della coordinazione e della regolazione delle attività motorie, n.d.a.] sono praticamente piatte, ed i loro dendriti (ramificazioni) formano un labirinto che riempie il piano (plane-filling maze). Dai mammiferi ai piccioni, alligatori, anfibi, e pesci, il grado di riempimento diminuisce. Sarebbe bello se ciò corrispondesse alla diminuzione della dimensione frattale D, purtroppo la nozione che i neuroni siano frattali rimane una congettura».
Già verso la fine degli anni ottanta, la natura frattale dei neuroni e delle arborizzazioni dendritiche venne sperimentalmente documentata consentendo così, mediante l’adozione della metodologia analitica frattale, il cammino verso l’approfondimento e la comprensione dell’organizzazione anatomico-morfologica e funzionale del cervello nella sua complessità, secondo una modalità rispettosa della realtà osservata e senza dover ricorrere ad approssimazioni e semplificazioni a cui non potevasi sottrarre prima dell’avvento della geometria frattale.
L’insieme di Mandelbrot o il frattale di Mandelbrot
Basterà infine menzionare come le tecnologie moderne di risonanza magnetica (RMI, RMN) forniscano immagini del cervello le cui strutture appaiono irregolari e su cui solo la morfometria frattale consente, per esempio, di analizzare lo sviluppo delle circonvoluzioni della corteccia cerebrale in funzione dell’età, di quantificare il loro incremento nell’emisfero sinistro che si esaurisce con la pubertà, mentre il processo evolutivo sembra persistere nell’emisfero destro.
Tramite l’analisi frattale è stato rilevato che nelle fasi avanzate dell’invecchiamento e in diversi stati patologici, quali la malattia di Alzheimer, la schizofrenia o la sclerosi multipla, la complessità morfologica e funzionale della corteccia cerebrale si riduce (ridotta dimensione frattale). Oggigiorno l’irruzione della geometria frattale nelle discipline scientifiche e umanistiche è incontestata: le ragioni sono quelle addotte da Mandelbrot nell’epilogo della sua opera, «nell’accettare la validità del processo di scala e nell’esplorare meticolosamente le implicazioni fisico-geometriche».
Gabriele A. Losa
Membro dell’Accademia Europea delle Scienze, dal 1982 docente di Biologia cellulare all’Università di Losanna
Pubblicato sul n° 49 di Emmeciquadro, per gentile concessione dell’Autore