Sapete ragionare correttamente? Prove d’intelligenza per l’estate

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• Non si sa se la pallina anomala è più pesante o più leggera.
  Si sa solo che ha un peso DIVERSO.
  Questo complica le cose.

• A. ne metti 5 su una bilancia e 5 su un altra, se pesano uguale allora la più pesante é quella esclusa, se un piatto pesa di più rifai il procedimento con quelle 5 palline del piatto più pesante (le dividi a metà, dunque 2 da una parte, due dall'altra e una fuori) e continui così finche non arrivi a 1 sul piatto destro, 1 sul piatto sinistro e 1 fuori, a quel punto é ovvio capire qual'é la più pesante tramite la bilancia, e se pesano uguale vuol dire che la terza esculusa era la più pesante.

  • ovviamente vale anche se la pallina diversa é più leggera delle altre.

  • Ma la domanda è: con quante pesate posso GARANTIRE
    l'individuazione della pallina diversa?
    (intendendo: nel caso più sfavorevole)

    È tutto il pomeriggio che ci penso.

• A:
  1) 4 su un piatto e 4 su un altro: se equivalenti 2a) controllare con due pesate le 3 restanti, altrimenti scartare quest'ultime e determinare 2b) con i due gruppi quale contenga quella anomala.
  2a) peso due palline, se equivalenti allora quella cercata è la terza, altrimenti ne scambio una con questa e peso di nuovo 3a) se equivalenti allora è quella scartata, altrimenti per esclusione quella pesata due volte.
  2b) peso un gruppo di 4 a 2 per piatto: se equivalenti le scarto, altrimenti scarto le altre quattro.
  3b) del gruppo peso prima 2 palline 1 per piatto: se uguale scarto se differenti tengo. Mi ritrovo con 2 palline sicuramente differenti e 9 neutre che ora posso sempre usare per controllo.
  4b) peso una delle 2 con una pallina di controllo: se in equilibrio la pallina è l'altra, altrimenti è sicuramente quella sul piatto assieme a quella di controllo.
  Nel caso peggiore quattro pesate anche ignorando alla fine se quella differente pesi più o meno delle altre.

  • Interessante. Tu parti non con 5-5-1
    ma con 4-4-3. Ci avevo pensato anch'io!

    Con QUATTRO pesate si riesce in ogni caso, concordo.

• Il problema è se si possano coprire tutti i casi con 3 sole pesate.
  Penso di no, in ogni caso sin qui non ho trovato.

  Ci sarebbe poi anche il problemino dell'orologio,
  che non sembra aver suscitato grande interesse.
  La mia prima risposta è stata: l'una e cinque
  ma subito mi sono reso conto che non è ESATTA.

• La domanda dell'orologio si può girare in: quante volte si troveranno sovrapposte nelle successive 12 ore? La risposta è 11 da cui:
  12 * 60 * 60 * 10 / 11 = 39272,7 decimi di secondo
  Che sono: 1 ora, 5 minuti, 27 secondi e 27 centesimi (dopo la finale dei 100 non mi va di arrotondare ai decimi).

  Per le pesate son fermo pure io in tante salse diverse a 4... ma ci voglio riflettere ancora un po'.

  • Però, bel ragionamento. Molto astuto. Non ci avevo pensato!

• Ok credo si faccia in 3:

  1) 3 vs 3 (fuori pesata 5)
  se uguali -> 6 di controllo + 5 da verificare (caso 2A)
  se diverse > 5 di controllo + 3 "forse pesanti" + 3 "forse leggere" (caso 2B)

  2A) 3 controllo vs 3 da verificare (2 fuori)
  se uguali -> 9 di controllo + 2 da verificare
  se diverse -> 8 di controllo + 3 "pesanti" o "leggere" (a questo punto lo sappiamo!)

  2B) 3 "pesanti" vs 3 controllo
  se uguali -> 8 di controllo + 3 "leggere"
  se diversi -> 8 di controllo + 3 "pesanti"

  a questo punto possiamo avere 2 situazioni:
  - 2 sfere da verificare con 9 di controllo
  - 3 sfera da verificare con l'informazione se la sfera diversa è pesante o leggera

  Entrambe si chiudono in una pesata, quindi se non mi son sbagliato dovrebbero bastare 3 pesate.

  • Penso che il minimo sia 4 pesate perché per valutare tre palline (con o senza palline di controllo) senza sapere se quella anomala è più pesante o più leggera sono sempre necessarie almeno due pesate.

  • Sai che sei un drago?

    Ascolta, avrei una proposta da farti.
    Una mia figliola ha terminato la terza liceo
    con il 3 in matematica
    (promossa con il punto tecnico, che le hanno REGALATO
    i professori maschi, perché molto carina).

    Non le daresti qualche lezione di sostegno?
    Con onorario per il tuo disturbo, ovviamente.

    PS. Io sono di professione avvocato e gli unici numeri che capisco
    sono le parcelle che mitraglio sui miei clienti.

    • @Jack the Ripper: Un 3* in matematica in terza liceo (e spero per la figliola non nello scientifico) significa che molto probabilmente si è persa qualche pietra miliare prima (nella teoria dei numeri e/o in geometria); una qualsiasi pezza tu voglia porre, per attecchire, comporta necessariamente che si colmino prima le lacune di base. Certamente abraldo saprà colmare anche queste viste le sue evidenti capacità con alberi e trasformate.

      • Bisogna anche dire che la ragazza è molto bella
        (tutta suo padre!)

        e ha numerosi corteggiatori (io ci sto attento).

    • Ciao Jack, ti ringrazio per l'offerta di lavoro ma fortunatamente ho già un impiego... inoltre non credo di ricordarmi tutti gli argomenti di terza liceo.

      Cmq ha ragione Malatempora, un 3 regalato vuol dire che dovrebbe probabilmente prima colmare alcune lacune di base.

  • Come non detto.
    Hai perfettamente ragione tu.
    3 è il minimo quando eruisci l'informazione.

• Faccio una proposta. I blogger matematici
  valutino criticamente la soluzione di Abraldo
  pubblicata tre minuti prima di mezzanotte.

• Caro Abraldo, metto giù una mia schematizzazione,
  sostanzialmente equivalente alla tua.

  Palline (11): ABCDEFGHIJK

  ABC a confronto con DEF

  a) ABC = DEF

  ABC cfr GHI
  a1) ABC = GHI allora la Diversa è J o K e,
  confrontando con una normale, chiudo in 3 pesate
  a2) ABC > GHI (ad esempio). Allora la Diversa è minore (G o H o I)
  e confronto G con H, chiudendo.

  b) ABC > DEF (ad esempio)

  ABC cfr GHI
  b1) ABC = GHI. Allora la Diversa è minore (D o E o F)
  e, confrontando D con E, chiudo.
  b2) ABC > GHI (unica possibilità rimanente). Allora la Diversa è maggiore (A o B o C) e, confrontando A con B, chiudo.

• Accludo anche per completezza la soluzione di Lady Ripper.

  5/5 e l'undicesima fuori.
  Se i piatti sono in equilibrio, chiaro.
  Sennò, tolgo una pallina di qua e una di là finché non c'è equilibrio.

  • Lady Ripper: metodo del normanno... convergenza lineare, inoltre al peggio ha bisogno 6 pesate visto che se si scopre l'anomalia alla 5a pesata bisogna farne una aggiuntiva con una di controllo.
    abraldo: convergenza quadratica dimezzando i livelli dell'albero.